OPERASI HITUNG DASAR MATEMATIKA

Operasi Hitung Dasar Matematika

 

Pengertian Konsep Operasi Hitung Dasar Dalam Matematika

Herman H (1990:63) menyatakan “konsep adalah suatu ide atau gagasan yang dibentuk dengan memandang sifat-sifat yang sama dari sekumpulan eksemplar yang cocok”. Dengan perkataan lain, jika kita dapat menemukan lebih dari satu fakta dari suatu ide maka kita menyebutnya sebagai suatu konsep.

Sedangkan Mulyono Abdurrahman (2008) mengatakan bahwa “konsep menunjuk pada pemahaman dasar. Siswa mengembangkan suatu konsep ketika mereka mampu mengklasifikasikan atau mengelompokkan benda-benda atau ketika mereka dapat mengasosiasikan suatu nama dengan kelompok benda tertentu”. Sebagai contoh anak mengenal konsep segi empat sebagai suatu bidang yang dikelilingi oleh empat garis lurus. Pemahaman anak ketika anak menghitung perkalian 4 × 10 = 40, 3 × 10 = 30, dan 12 × 10 = 120, anak memahami konsep perkalian 10, yaitu bilangan tersebut diikuti dengan 0.

Penanaman konsep matematika pada anak yang paling mendasar adalah pemahaman tentang operasi hitung. Untuk mengajarkan konsep operasi hitung pada anak harus senantiasa memperhatikan tahap perkembangan berpikir anak. Pada tahap awal konsep operasi hitung yang diajarkan adalah konsep penjumlahan untuk bilangan natural (asli). Mengingat konsep matematika sesungguhnya bersifat abstrak, namun tahap berpikir anak untuk usia Sekolah Menengah Pertama biasanya masih bersifat pra-abstrak, maka guru atau orang tua harus berupaya untuk mengkonkretkan konsep yang abstrak tersebut agar anak tidak merasa kesulitan.

Konsep-konsep Operasi Hitung Dasar adalah konsep yang mendasari operasi hitung dasar yang meliputi penjumlahan (penambahan), pengurangan, perkalian dan pembagian (Ruseffendi, dalam Romi, 2010:17). Belajar konsep merupakan unsur penting dalam belajar di sekolah, khususnya dalam matematika. Penguasaan terhadap banyak konsep, memungkinkan seseorang dapat memecahkan masalah dengan lebih baik sebab untuk memecah masalah  perlu aturan-aturan, dan aturan-aturan tersebut didasarkan pada konsep-konsep yang dimiliki.

Pengetahuan Matematika

Dalam pendidikan matematika terdapat dua macam pengetahuan matematika, yaitu pengetahuan konsep dan pengetahuan prosedur. Pengetauan konsep adalah pengetahuan yang berisi banyak  hubungan atau jaringan ide.  Atau dapat juga diartikan pengetahuan konsep  adalah sebuah kumpulan titik yang menyatu dan hubungan-hubungan diantaranya. Pengetahuan konsep lebih dari sekedar ide tunggal. Sebagaimana Hibert dan Carpenter secara ringkas menyatakan, pengetahuan konsep adalah “pengetahuan yang dipahami.” (Van De Welle, 2006:29)

Pengetahuan prosedur tentang matematika adalah pengetahuan tentang aturan atau cara yang digunakan untuk menyelesaikan tugas-tugas matematika. Pengetahuan prosedur mencakup pengetahuan tentang langkah demi langkah melakukan tugas seperti 3 + 5, 6-1, 4 x 7, 10 : 2. Sebagai contoh.” Untuk menjumlahkan dua bilangan dengan tiga digit, pertama tambahkan  bilangan-bilangan  pada digit paling kanan. Jika hasilnya 10 atau lebih letakkan 1 di atas kolom kedua dan tulis digit yang lain dibawah kolom paling kanan. Lakukan  secara serupa untuk dua kolom berikutnya secara berurutan. Kita dapat menyatakan  bahwa seseorang yang dapat menyelesaikan tugas seperti ini telah mempunyai pengetahuan prosedur  tersebut. Pengetahuan  tentang symbol seperti (9-5) x 3 = 12, ≠, ≥, ±, dan lainnya juga merupakan bagian dari pengetahuan prosedur tentang matematika.

Pengetahuan prosedur tentang matematika mempunyai peran yang sangat penting baik dalam belajar maupun mengerjakan matematika. Prosedur yang berupa algoritma membantu kita mengerjakan tugas rutin dengan mudah dan dengan demikian memberi kebebasan kepada otak  untuk berkonsentrasi pada tugas-tugas yang lebih penting. Penggunaan symbol merupakan cara yang berguna untuk menyampaikan ide-ide matematika kepada orang lain. Namun keterampilan dalam penggunaan prosedur tidak akan membantu mengembangkan pengetahuan konsep yang terkait dengan prosedur tersebut. Misalnya, mengerjakan pembagian panjang yang tidak berakhir tidak akan membantu anak memahami apa arti pembagian. Kenyataannya, anak-anak yang terampil denganprosedur tertentu tidak dapat memberikan arti tentang prosedur tersebut.

Dari sisi keuntungan belajar matematika, pertanyaan tentang bagaimana perosedur dan konsep dapat dikaitkan jauh lebih penting dari pada kegunaan prosedur itu sendiri.  Pada umumnya bahwa aturan bersifat prosedural seharusnya jangan diajarkan tanpa disertai konsep, meskipun pada kenyataannya sangat sering dilakukan. Prosedur-prosedur tahap dasar konsep ini hanyalah merupakan aturan tanpa alasan yang akan membawa kepada kesalahan dan ketidaksukaan terhadap matematika. Semua prosedur matematika dapat dan harus dikaitkan dengan ide-ide konseptual yang menjelaskan mengapa prosedur tersebut berlaku.

Operasi Hitung Dasar

Operasi hitung dasar dalam matematika dapat dibedakan menjadi empat operasi hitung dasar yaitu: (1) Penjumlahan, yaitu operasi hitung untuk memperoleh dua bilangan bulat atau lebih; (2) Pengurangan, yaitu operasi hitung untuk memperoleh selisih dari dua bilangan atau lebih; (3) Perkalian, yaitu penjumlahan berulang dengan penjumlahan tetap; dan (4) Pembagian, yaitu pengurangan berulang dengan pengurangan tetap, selanjutnya bentuk operasi kali yang berulang adalah operasi pangkat. Sedangkan operasi akar dan operasi logaritma masing-masing sebagai lawan dari operasi pangkat dan operasi pangkat khusus

Gambar 2.1 Hubungan operasi-operasi hitung (Wahyudin & Sudrajat, 2003 :35)

Setelah konsep penjumlahan bilangan asli dikuasai anak dengan mantap, kemudian dilanjutkan dengan penanaman konsep pengurangan. Karena sifat pengurangan yang berkebalikan dengan operasi penjumlahan, maka syarat penguasaan operasi penjumlahan menjadi mutlak untuk anak. Sebaiknya anak-anak yang belum menguasai penjumlahan dengan mantap, perlu mendapat perhatian khusus dari guru baik dengan cara pembimbingan secara individual maupun meminta bantuan orang tua.

Operasi hitung berikutnya adalah perkalian. Perkalian sebagai penjumlahan berganda, memerlukan tahap berpikir yang lebih kompleks pada diri anak. Oleh karena itu jika anak tampak belum siap memulai materi perkalian sebaiknya diingatkan kembali tentang operasi penjumlahan. Setelah operasi perkalian dapat dikuasai dengan baik, selanjutnya adalah operasi pembagian.

Menurut Wahyudin & Sudrajat, (2003 :37) Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Oleh karena itu penguasaan operasi perkalian menjadi mutlak agar dapat menguasai operasi pembagian.  

Operasi Penjumlahan (Tambah)

Operasi penjumlahan (tambah) adalah dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Operasi penjumlahan selalu kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Pembicaraan sehari-hari kita menggunakan “penjumlahan” untuk banyak tindakan yang berbeda. Sebagai contoh “penjumlahan sejumlah telur”. Disini kita butuh membedakan antara cara mengkombinasikan dua himpunan, dimana kita bisa menyebutnya sebagai kesatuan; dan cara mengkombinasikan dua bilangan, dimana kita boleh menyebutnya sebagai penjumlahan. Jadi penjumlahan dua bilangan, misalkan 5 dan 7, dapat disamakan dengan mengambil sembarang himpunan yang jumlahnya  adalah 5 dan sembarang himpunan yang jumlahnya 7.  Kesatuan ini digambarkan sebagai satu himpunan dan didapatkan jumlah dari himpunan baru ini.

Sedangkan menurut Van De Walle (2006:155), jika beberapa bagian dari suatu himpunan sudah diketahui, penjumlahan digunakan untuk menyebut jumlah keseluruhan dari bagian-bagian tersebut. Definisi dari penjumlahan yang cukup sederhana bisa digunakan baik untuk situasi yang memerlukan aksi (penggabungan dan pemisahan) dan situasi statis yang tidak memerlukan adanya aksi.

Lambang “+”  adalah lambang untuk operasi penjumlahan atau pertambahan, sehingga kalimat matematika seperti jumlah delapan dan lima sama dengan 13 ditulis secara symbol atau model matematika adalah “8 + 5 = 13.” Tanda + mulai dipakai pada abad ke-15 untuk menandai “karung padi-padian atau gamdum yang melebihi berat yang ditentukan sebelumnya”. (Wahyudin & Sudrajat, 2003 :36)

 Terdapat beberapa sifat penting dari operasi penjumlahan yang berlaku pada himpunan bilangan real. Sifat-sifat itu diantaranya sebagai berikut:

1.      Himpunan semua bilangan real tertutup operasi penjumlahan, yaitu untuk setiap real a dan b, maka a + b merupakan bilangan real.

2.      Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap bilangan real a dan b berlaku :

a + b = b + a

misalnya 2 + 3 = 3 + 2

3.      Operasi penjumlahan bersifat asosiatif , yaitu untuk setiap bilangna real a, b, dan c berlaku 

a + (b + c) = (a + b) + c

misalnya: 2 + (3 + 4) =(2 + 3) + 4 = 9

4.      Operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangna real memiliki unsur identitas, yaitu 0,  karena untuk setiap bilangan real a berlaku

a + 0 = 0 + a = a

5.      Setiap bilangan real a memiliki lawan terhadap operasi penjumlahan, yaitu (-a)

karena  a + (-a) = (-a) + a = 0

Operasi Pengurangan

Menurut Van De Walle (2006:155), jika salah satu bagiannya dan totalnya sudah diketahui, maka pengurangan akan menghasilkan bagian yang satunya. Definisi ini sesuai dengan istilah “mengambil” yang sudah terlalu sering digunakan. Jika Anda memulai dengan total adalah 8, dan menghilangkan sejumlah 3, dua himpunan yang Anda  ketahui adalah 8 dan 3. Ekspresi 8-3 dibaca “delapan minus tiga” akan menghasilkan lima sisanya. Oleh karena itu delapan minus tiga adalah lima.

Wahyudin (2003:36) mengatakan bahwa operasi pengurangan adalah lawan (invers) dari operasi tambah, misalnya “ 6 dikurangi dengan 5” sama artinya dengan “ 6 ditambah dengan lawan 5”, sehingga 6 – 5 = 6 + (-5) = 1

Contoh lain:

1.      8 – 3 = 8 + (-3)

2.      – 2 – 7 = -2 + (-7)

Jadi, untuk tiap bilangan a dan b berlaku a – b = a + (-b) , yaitu mengurangi dengan sebuah bilangan sama dengan menambahkan dengan lawan dari bilangan itu

Operasi Perkalian

Perkalian adalah penjumlahan berulang. (Van De Welle, 2003: 35) maksudnya adalah 3 x 5 sama artinya dengan 5 + 5 + 5 atau  ditulis 3 x 5 =5 + 5 + 5

Perkalian pada bilangan asli memiliki tiga sifat, yaitu komutatif, asosiatif dan distribusi penjumlahan. Jika a,b,n suatu bilangan maka akan berlaku:

1.      a x b =b x a                                      (komutatif)

2.      (a x b) x c =a x (b x c)                      (asosiatif)

3.      a x 1 = 1 x a = a                              (identitas perkalian)

4.      n x (a + b) =(n x a) + (n x b)           (distribusi penjumlahan)

Operasi Pembagian

Pembagian didefinisikan sebagai berikut: a : b = c artinya adalah ada sekumpulan benda sebanyak a dibagi rata (sama banyak) dalam b kelompok. Maka cara membaginya dilakukan dengan pengambilan berulang sebanyak b sampai habis dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke semua kelompok. Banyaknya pengambilan ditunjukkan dengan hasil yang didapat oleh masing-masing kelompok yaitu c.  Hasil bagi (c) adalah banyaknya satuan pengambilan b dalam setiap kali mengambil untuk dibagi rata. Jika banyaknya anggota yang dimuat oleh masing-masing kelompok adalah c, maka banyaknya pengambilan b satuan sampai habis pada kumpulan benda sebanyak a adalah c kali. Mengapa? Sebab untuk setiap kali pengambilan sebanyak b anggota dari kumpulan benda beranggotakan a selalu dibagi rata pada masing-masing kelompok sebanyak b. Sehingga jika hasil pada masing-masing anggota adalah c, maka dapat dipastikan bahwa banyaknya satuan pengambilan b anggota sampai habis dari sekumpulan benda sebanyak a itu adalah c kali.

Dalam membelajarkan pembagian dasar, peserta didik diberikan pengalaman membagi, misalnya dengan membagikan sejumlah barang kepada beberapa temannya. Dengan memberikan pengalaman, peserta didik akan selalu mengingat konsep pembagian tersebut di kepalanya. Selanjutnya dengan memberi banyak latihan, peserta didik diajak untuk mengamati hubungan antara bilangan yang dibagi, pembagi, dan hasil baginya. Setelah dicermati ternyata bilangan yang dibagi = pembagi x hasil bagi.

Contoh:

1.        36 : 4 = 9 artinya adalah ada 9 kali pengambilan empatan sampai habis pada bilangan 36, dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke dalam 4 kelompok,

2.        30 : 6 = 5 artinya adalah ada 5 kali pengambilan enaman sampai habis pada bilangan 30, dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke dalam 6 kelompok, dan lain-lain.

Berikut ini cara mudah dan cepat untuk menyelesaikan beberapa soal yang berhubungan dengan masalah Barisan dan deret Aritmatika.

Contoh soal 1:

Suatu barisan aritmatika diketahui bahwa suku ke-4 adalah 50 dan suku ke-7 adalah 80. Berapakah jumlah 12 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Jawab:

CARA BIASA

Un = a + (n - 1)b

U4 = a + (4 - 1)b = a + 3b = 50

U7 = a + (7 - 1)b = a + 6b = 80  -

                                  - 3b = -30

                                      b = -30/-3

                                      b = 10

a + 3b = 50

a +3.10 = 50

a + 30 = 50

        a = 50 - 30

        a = 20

Sn = n/2(2a + (n - 1)b)

S12 = 12/2(2.20 + (12 - 1)10)

S12 = 6(40 + 11.10)

S12 = 6(40 + 110)

S12 = 6.150

S12 = 900

CARA CEPAT

b = (U7 - U4) / (7 - 4)

b = (80 - 50) / 3

b = 30 / 3

b = 10

S12 = 12/2( U4 + U7 + 2b)

S12 = 6(50 + 80 + 2.10)

S12 = 5(50 + 80 + 20)

S12 = 5.150

S12 = 900

Ket : Yang menjadi perhatian di sini 4 + 7 + 2 = 12 + 1.

Contoh Soal 2:

Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. Jumlah 18 suku pertama adalah ....

A. 531

B. 666

C. 1062

D. 1332  (UN SMP 2012 Paket A13)

Jawab:

CARA CEPAT

b = (U11 - U7)/(11 -7)

b = (34 -22)/4

b = 12/4

b = 3

S18 = 18/2(U11 + U7 + b)

S18 = 9(34 + 22 + 3)

S18 = 9(59)

S18 = 531

Read more: http://nurhamim86.blogspot.com/2013/02/cara-cepat-menyelesaikan-soal-barisan.html#ixzz2U8Ekl8Kx

  1 4 15 2 5 14 3 6 13 … … …

A. 4 7 12

B. 5 8 13

C. 4 8 12

D. 4 7 11

E. 5 6 13

PEMBAHASAN :

u₁ = 1

u₄ = 1 + 1 = 2

u₇ = 2 + 1 = 3

u₁₀ = 3 + 1 = 4

u₂ = 4

u₅ = 4 + 1 = 5

u₈ = 5 + 1 = 6

u₁₁ = 6 + 1 = 7

u₃ = 15

u₆ = 15 – 1 = 14

u₉ = 14 – 1 = 13

u₁₂ = 13 – 1 = 12

JAWABAN : A

  8 7 7 6 8 8 4 9 9 … … …

A. 3 11 11

B. 2 10 10

C. 2 10 11

D. 2 11 10

E. 3 11 10

PEMBAHASAN :

u₁ = 8

u₄ = 8 – 2 = 6

u₇ = 6 – 2 = 4

u₁₀ = 4 – 2 = 2

u₂ = 7

u₅ = 7 + 1 = 8

u₈ = 8 + 1 = 9

u₁₁ = 9 + 1 = 10

u₃ = 7

u₆ = 7 + 1 = 8

u₉ = 8 + 1 = 9

u₁₂ = 9 + 1 = 10

JAWABAN : B

  3 3 6 9 15 24 … …

A. 33 55

B. 31 51

C. 36 73

D. 39 63

E. 42 71

PEMBAHASAN :

u₁ = 3

u₃ = 3 + u₂ = 6

u₅ = 6 + u₄ = 15

u₇ = 15 + u₆ = 39

u₂ = 3

u₄ = 3 + u₃ = 9

u₆ = 9 + u₅ = 24

u₈ = 24 + u₇ = 63

JAWABAN : D

  1 4 9 16 25 …

A. 31

B. 36

C. 38

D. 42

E. 44

PEMBAHASAN :

u₁ = 1² = 1

u₂ = 2² = 4

u₃ = 3² = 9

u₄ = 4² = 16

u₅ = 5² = 25

u₆ = 6² = 36

JAWABAN : B

  16 12 15 13 14 …

A. 12

B. 14

C. 13

D. 15

E. 17

PEMBAHASAN :

u₂ = 12

u₄ = 12 + 1 = 13

u₆ = 13 + 1 = 14

u₈ = 14 + 1 = 15

JAWABAN : D

  18 10 20 … … 16 32 24

A. 8 dan 16

B. 9 dan 3

C. 12 dan 24

D. 32 dan 24

E. 28 dan 24

PEMBAHASAN :

u₁ = 18

u₃ = 18 + 2 = 20

u₅ = 20 + 4 = 24

u₇ = 24 + 8 = 32

u₈ = 24

u₆ = 24 – 8 = 16

u₄ = 16 – 4 = 12

u₂ = 12 – 2 = 10

JAWABAN : C

  52 53 56 61 68 77 …

A. 85

B. 87

C. 88

D. 91

E. 93

PEMBAHASAN :

u₁ = 52

u₂ = 52 + 1 = 53

u₃ = 53 + 3 = 56

u₄ = 56 + 5 = 61

u₅ = 61 + 7 = 68

u₆ = 68 + 9 = 77

u₇ = 77 + 11 = 88

JAWABAN : C

  5 6 7 5 6 7 8 5 6 7 8 9 … …

A. 5 – 6

B. 7 – 6

C. 9 – 10

D. 12 – 9

E. 10 – 9

PEMBAHASAN :

u₁ = u₄ = u₈ = u₁₃ = 5

u₂ = 6

u₃ = 7

u₅ = 6

u₆ = 7

u₇ = 8

u₉ = 6

u₁₀ = 7

u₁₁ = 8

u₁₂ = 9

u₁₄ = 6

JAWABAN : A

  11 99 77 12 100 78 13 … …

A. 79 – 101

B. 78 – 100

C.    100 – 78

D. 101 – 79

E. 77 – 101

PEMBAHASAN :

u₂ = 99

u₅ = 99 + 1 = 100

u₈ = 100 + 1 = 101

u₃ = 77

u₆ = 77 + 1 = 78

u₉ = 78 + 1 = 79

JAWABAN : D

  1 2 4 8 16 … …

A. 8 – 2

B. 8 – 4

C.    24 – 32

D. 32 – 66

E. 32 – 64

PEMBAHASAN :

u₁ = 1

u₂ = 1 x 2 = 2

u₃ = 2 x 2 = 4

u₄ = 4 x 2 = 8

u₅ = 8 x 2 = 16

u₆ = 16 x 2 = 32

u₇ = 32 x 2 = 64

JAWABAN : E

  5 7 10 12 15 …

A. 13

B. 14

C. 15

D. 16

E. 17

PEMBAHASAN :

u₁ = 5

u₂ = 5 + 2 = 7

u₃ = 7 + 3 = 10

u₄ = 10 + 2 = 12

u₅ = 12 + 3 = 15

u₆ = 15 + 2 = 17

JAWABAN : E

  99 94 96 91 93 88 90 …

A. 79

B. 85

C. 90

D. 91

E. 93

PEMBAHASAN :

u₂ = 94

u₄ = 94 – 3 = 91

u₆ = 91 – 3 = 88

u₈ = 88 – 3 = 85

JAWABAN : B

  9 9 9 6 9 3 … …

A. 11 dan 11

B. 10 dan 9

C. 9 dan 0

D. 0 dan 9

E. 1 dan 0

PEMBAHASAN :

u₁ = u₃ = u₅ = u₇ = 9

u₂ = 9

u₄ = 9 – 3 = 6

u₆ = 6 – 3 = 3

u₈ = 3 – 3 = 0

JAWABAN : C

  11 19 27 9 17 25 7 …. …

A. 15, 22

B. 23, 15

C. 22, 15

D. 15, 23

E. 26, 23

PEMBAHASAN :

u₂ = 19

u₅ = 19 – 2 = 17

u₈ = 17 – 2 = 15

u₃ = 27

u₆ = 27 – 2 = 25

u₉ = 25 – 2 = 23

JAWABAN : D

  1 4 8 11 15 ….

A. 18

B. 16

C. 17

D. 19

E. 20

PEMBAHASAN :

u₁ = 1

u₂ = 1 + 3 = 4

u₃ = 4 + 4 = 8

u₄ = 8 + 3 = 11

u₅ = 11 + 4 = 15

u₆ = 15 + 3 = 18

JAWABAN : A